пятница, 11 февраля 2011 г.

Продолжая тему (Задача Томсона)

Остановиться на достигнутом не удалось. Во-первых, сразу стало интересно, сколько существует правильных многогранников в четырехмерии и в n-мерии. Интуитивно почему-то казалось, что чем больше размерность, тем больше правильных многогранников. Подключение к всемирному разуму показало, что жестоко ошибался. После просмотра изумительной красоты картинок, естественно, захотелось завращать все и вся, тем более, что всего-то и надо было научиться правильно определять вершины. Но тут я застрял. Поскольку мыслительного процесса хватает на работе, решил схитрить и решить задачу по-физически, а именно, посадить нужное число точек на сферу и организовать между ними отталкивание. Идея была такая, что эта конфигурация сама устаканится в правильный многогранник. Наивный... Долго ждал, но так и не дождался... Потом решил хоть в трехмерии метод опробовать. Бросил 8 точек и понял, что вовсе не куб получился. Родилась задача: Восемь одинаковых точечных зарядов находятся на сфере. Найти минимум кулоновской энергии.
P.S. Чтобы система устаканивалась, нужно, конечно, не ускорение, а скорость приравнивать силе. В принципе, это тоже довольно физично: частицы плавают в жидкости.

5 комментариев:

  1. Vladimir Kalitvianski16 февраля 2011 г. в 04:24

    Есть задачка еще хуже - про два бесспиновых заряда противиположного знака, но одинаковой массы в связанном состоянии - а ля позитрониум. Полный орбитальный момент L квантуется целочисленно и он состоит из суммы двух орбитальных моментов каждой частицы $L_1$ и $L_2$, отсчитанных от центра масс системы. Вопрос на засыпку, чему равняется орбитальный момент одной частицы в такой системе, когда L = 1?

    ОтветитьУдалить
  2. Roman Lee16 февраля 2011 г. в 12:12

    Видимо, под $L$ Вы имеете в виду не полный, а относительный угловой момент, т.е., величину, связанную известным соотношением с квадратом оператора $l=r\times p$, где $r=r_1-r_2$, $p=(p_1-p_2)/2$ (для равных масс). Далее, координата центра масс системы $R=(r_1+r_2)/2$ сама является оператором и, например, в системе, в которой полный импульс равен нулю, этот оператор имеет бесконечную дисперсию. Другими словами, в системе центра инерции координата центра масс имеет абсолютно неопределенное значение. Что Вы называете орбитальным моментом одной частицы, отсчитанным от центра масс? Если операторы $\tilde{l}_1=(r_1-R)\times p_1$ и $\tilde{l}_2=(r_2-R)\times p_2$, то, конечно, $\tilde{l}_1+\tilde{l}_2=l$, а в системе инерции вообще $\tilde{l}_1=\tilde{l}_2=l/2$ со всеми вытекающими последствиями. Но, мне кажется, что Вы не собирались отсчитывать от оператора, и я бы тоже не стал, а просто взял бы ${l}_1=r_1\times p_1$ и ${l}_2=r_2\times p_2$, т.е., отсчитывал бы от координатного нуля. В классике, конечно, можно выбрать систему, где и полный импульс равен нулю, и центр масс находится в нуле. Но в квантовой механике система, имеющая нулевой импульс, не имеет определенной координаты центра масс. Поэтому неудивительно, что $l_1+l_2\neq l$, а $l_1^2$ и $l_2^2$ не имеют определенного значения.

    ОтветитьУдалить
  3. Vladimir Kalitvianski16 февраля 2011 г. в 16:10

    Рома, ты на удивление трезво рассудил и почти нигде не ошибся, поздравляю! Просто в квантовой механике полный импульс можно полагать равным нулю и в такой (покоящейся системе отсчета) $l_1 + l_2 = L$, но центр инерции, конечно, остается нелокализованным и это делает $l_1$ неравным $l_2$. Краткое объяснение, созвучное с твоим, приведено у меня на https://docs.google.com/viewer?a=v&pid=explorer&chrome=true&srcid=0B4Db4rFq72mLMWE1OGIwNTUtOTdmMC00ZTNlLThiYzktODI3ODVhOGVkNzc5&hl=en

    ОтветитьУдалить
  4. Roman Lee16 февраля 2011 г. в 16:35

    Уважаемый Владимир, выражение "почти нигде не ошибся" предполагает, что я где-то все же ошибся. Поэтому, позвольте мне считать это выражение ошибочным.

    ОтветитьУдалить
  5. Vladimir Kalitvianski16 февраля 2011 г. в 18:37

    Ну, разумеется полный импульс равен нулю с самого начала. Он и его вклад вообще не интересены, зачем их впутывать. Речь идет об угловом моменте относительного движения L и его распределении между двумя слагаемыми. Так что в этой задаче $l_1 +l_2 = L$ всегда, но не смотря на симметрию по частицам, операторы $l_1$ и $l_2$ не равны деруг другу и в частности нетривиально выражаются через L (не являются его долями, вообще говоря).

    ОтветитьУдалить

Подписаться на: Комментарии к сообщению (Atom)