Шаровое звездное скопление состоит из 30 тыс. звезд и имеет радиус 30 световых лет. Найти среднее расстояние между звездами этого скопления.Обсуждалась не задача, конечно, а то, насколько она по зубам школьникам 6-7 классов. Равномерное распределение звезд, насколько я понял, в задаче подразумевалось. Вопрос в том, как понимать среднее расстояние. Если это действительно среднее по всем парам звезд расстояние, то среднее расстояние вычисляется как интеграл\[(4\pi R^3/3)^{-2}\int d\mathbf{r}_1 d\mathbf{r}_2 |\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2|=18R/25,\]если нигде не ошибся. Такая задача, конечно, сложна для школьников.
С другой стороны, как заметила физическая часть аудитории, спрашивалось скорее среднее расстояние между парами соседних звезд. Решение, которое предлагалось - кубический корень из объема, приходящегося в среднем на одну звезду,т.е., $\sqrt[3]{4\pi R^3/3N}$, и это, конечно, вполне по силам семикласснику.Такая оценка среднего расстояния действительно встречается в физических рассуждениях на каждом шагу. По порядку величины, конечно, это правильный ответ. Вопрос, поймет ли школьник, что именно это от него требуется.
В ходе обсуждения обнаружил, что для астрофизиков "примерно" и "по порядку величины" - понятия
Ну, и, ради любви к искусству, посчитаем, насколько это действительно так\[\langle r\rangle=\int d(N r^3/R^3)r\exp(-N r^3/R^3)=\Gamma[4/3]\sqrt[3]{R^3/N},\]т.е., в этом случае, ответ меньше оценки примерно в 1.8 раз.
